Relativistička algebra - više od igre

Relativistička algebra na jednkaoobrazan način, pomoću istovjetnih oznaka veličina, tretira inercijalna i jednako promjenljiva kretanja (sa ili bez "početne brzine"), oscilatorna i talasna kretanja, Ajnštajnove relacije u "Specijalnoj teoriji relativnosti" (STR) i "Lorentzove ("boost") formule za transformaciju koordinata" i još mnogo više.
Zakoni puta jednolikopravolinijskog kretanja:
1. PB = vt i
2. PC = ct
temeljne su formule za izvođenje mnogih drugih formula.
U navedene dvije formule imamo dvije dužine (PC i PB), dvije brzine (c i v , 0 < v < c < ) i jedan vremenski interval (t).
Nevjerovatno, ali istinito, za svako moguće PC : PB = ct : vt = c/v = n izvest ću vam: Ajnštajnove veličine u STR, Lorencove formule za transformaciju koordinata, i još mnogo drugih veličina. Nacrtajte mi dužine PC = ct i PB = vt konstruisat ću vam (dakle samo uz pomoć šestara i lenjira) sve Ajnštajnove dužine i Lorencove dužine ("Lorencove koordinate" x i x', x/n = vt i x'/n = vt').
Uočite da smo već izveli novu veličinu (iz prethodnih veličina) datu formulom:
3. c/v = n , ili 3.a) c = nv, odnosno 3.b) v = c/n . Definišući 0 < v < c , već imamo i podatak da je: n > 1 .
Sada već možemo izvoditi nove veličine "relativističke algebre", nove formule (formule ispisivati pomoću programa: http://www.codecogs.com/ ).

Pomoću prethodno opisanih i navedenih veličina izvedimo novu veličinu:
4.) t_v = vt/c = t/n.
Ovom vremenskom intervalu nije posvećena odgovarajuća pažnja ni fizičara ni matematičara. Ova mala, ali značajna, formula kao da je izmakla pažnji i "najvećem geniju čovječanstva" - Albertu Einsteinu. Tako jednostavna, očigledna i jasna! Naprosto, nikakva dodatna pojašnjenja nisu nam potrebna za njeno razumijevanje.
Ova formula predstavlja ključnu vezu između talasnih i pravolinijskih (i ne samo jednolikih pravolinijskih) mehaničkih kretanja "materijalne tačke" mase m = F/a.
Sada već možemo definisati tri dužine:
5.) PA = vt_v = vt/n = ct/n², ili 5.a) nvt_v = vt = ct_v = ct/n.
Već uočavate geometrijski niz dužina: ct = nvt = n²vt_v.
6.)
Taj niz je temelj geometrijskog modela "relativističke algebre". Niz je pogodan za primjenu na Borov model atoma i prikaz emitovanja različitih talasnih dužina kod "preskakanja elektrona sa jedne na drugu ljusku".. Zamislite niz koncentričnih sfera čiji poluprečnici predstavljaju dužine niza navedenog omjera, onda imate zamišljene ljuske putanja elektrona jednog atoma. Razmak između njih odgovara spektru talasnih dužina atoma određenog elementa.

Ova slika, u odnosu na slike koje ste navikli viđati u udžbenicima o Specijalnoj teoriji relativnosti, razlikuje se samo po tome što su joj dodate dvije koncentrične kružnice (presjek ravni kroz centar sfera). Slika je moguća za svako n = c/v i za svako:
PC = ct i PB = K°K' = vt = ct/n . Gdje je tu, ranije pomenuta dužina, PA = vt_v. Sasvim ju je lako "konstruisati". Prikažimo je:
I evo nas kod Ajnštajnovih dužina:
AC = 2l₀ = 2ct₀, PC = ct = PN , PB = vt , AT = 2vt' i BN = 2ct'. Jednostavno i lako razumljivo.
Dužina PA je i žižni poluparametar (p) odgovarajuće elipse čija je velika poluosa a = ct i mala poluosa b = vt.
Produžimo li pravac kroz tačke A-T do kružnice, onda pravac iz te tačke na kružnici kroz centar P predstavlja pravac "prelomljene zrake" svjetlosti u sredini sa indexom loma n = c/v .

Ajnštajnove veličine (iz prethodnog posta) izvedimo i iz jednakopromjenljivog kretanja:
"Slobodan pad" , sa konstantnom akceleracijom a = F/m razmotrimo na sljedećem crtežu:
. Tijelo ("materijalna tačka") počinje kretanje iz "mirovanja" u tački P ( P - početna tačka, početak posmatranja, poredbeni koordinatni sistem, polazno mjesto, presjek osa pravouglog koordinatnog sistema, svi pojmovi počinju sa P) i tokom vremena "slobodno pada" po pravcu P-S-C sa konstantnom akceleracijom (ubrzanjem): a = F/m. Najveću ("konačnu", "krajnju", "trenutnu") brzinu u posmatranom kretanju, nakon isteka vremenskog intervala (t) od početka kretanja, označimo oznakom:
c = at. Na našem crtežu, neka je tijelo u tački S dostiglo najveću (konačnu, trenutnu) brzinu c. Dužina pređenog puta (od početka kretanja pa do momenta dostizanja konačne brzine c ) je:
. Nastavili po istom pravcu i smjeru od tog momenta sa jednakousporenim kretanjem ("retardacija" je a = c/t) onda će tijelo "izgubiti brzinu" - c u tački C , nakon vremenskog intervala t i nakon pređenog puta: SC = SP = s_c, i u tački C imat će brzinu nula (0). Ovo "produženje" kretanja SC naveo sam zbog "oscilatornog kretanja" (sa jednako promjenljivom brzinom) između tačaka P - C (u kojima se zaustavlja (brzina nula) i vraća nazad ubrzavajući, tako da u tački S dostiže maksimalnu brzinu, u posmatranom konkretnom primjeru je to brzina - c.
Eksperimentalno je utvrđena i provjerena činjenica: Nastavi li kretanje po inerciji dostignutom ("trenutnom") brzinom tijelo će za isto vrijeme t = c/a tom brzinom c = at , preći dvostruku dužinu puta:
ct = at² = c²/a .

U Specijalnoj teoriji relativnosti tretira se i brzina - v "na svim razinama" između nule i c, tj: 0 < v < c . U opisanom "slobodnom padu" (vidi prethodni post) brzinu v u jednako promjenljivom kretanju "materijalna tačka" sa istom akceleracijom a = F/m dostići će u nekom vremenskom trenutku: . Ovaj vremenski interval t_v obilježio sam sa indeksom (_v) kako bih naglasio da je to vremenski interval koji odgovara momentu dostizanja ("trenutne") brzine v = at_v . U opštem slučaju, ukoliko ne navedemo neki konkretan podatak, tijelo ("materijalna tačka") će do ovog momenta preći dužinu puta:. Neka je to na našem crtežu momenat kada je tijelo bilo u tački S_v, i prethodni crtež dopunimo oznakom te tačke, na putu "slobodnog pada" PS. Pokažimo ponovo sliku: . Naravno, položaj tačke S_v zavistit će od odnosa n = c/v = t/t_v. Da li je v "malo" spram c , ili je v "blizu" c uopšte nije bitno. Zbog lakše preglednosti crteža ja sam izabrao n = c/v = 5/3. Za dato n položaj tačke S_v možemo odrediti računski i/ili konstruktivnim putem (naravno, prethodno moramo imati i neki drugi podatak: izmjerenu dužinu PS ili izmjereno vrijeme PS/c = t).
Navedenu geometrijsku sliku, i navedeni opis jednakopromjenljivog kretanja "materijalne tačke" možemo svestrano koristiti ( i u jednakopromjeljivim, i u inercijalnim, i u oscilatornim, i u kružnim kretanjima). Sva računanja (dužina, vremena, energije) su pojednostavljena i olakšana, lako razumljiva i lako se pamte.
Bitna veličina za vezu sa Ajnštajnovim veličinama je razlika puteva:
, isto to u inercijalnim kretanjima je:

Na prethodnom crtežu sve zarotirajmo za 90° oko tačke P , i nacrtajmo dužine: PA = vt_v i PC = ct i ubacimo novu sliku:
Ranije je navedeno:
PC - PA = AC = 2l₀ = 2ct₀. Sada nam na crtežu nedostaje dužina vt = ct/n (umijete li je odrediti konstruktivnim putem iz navedenih dužina?). Dužinu PB = vt konstruisat ćemo iz geometrijske sredine:
PA : PB = PB : PC , PT = PB = vt i PN = PC = ct .
Pomoću dosadašnjih "algebarskih zapisa geometrijskog opisa fizičkih zbivanja" možemo konstruisati (ili izračunavati) sve Ajnštajnove i Lorencove dužine u Specijalnoj teoriji relativnosti.

Na prethodnom crtežu Lorencove dužine možemo konstruisati:

Lorencovo:x' = ct' = LN = LC = CL'' = L''N , Lorencovo:x'/n = vt' = BL' = L'T = LT = BL .
Lorencovo: x = ct = PC = PN , Lorencovo: x/n = vt = PT = PB.
Lorencovo: x-vt = PC - PB = BC , Lorencovo: x' + vt' = BL + LN = BN = CT .
Također, možemo konstruisati i Ajnštajnove dužine:
Ajnštajnovo: ct = PC = PN , vt = PB = PT ,
Ajnštajnovo: 2ct' = BN = CT , Ajnštajnovo: 2vt' = AT = BH ,
Ajnštajnovo: 2ct₀ = 2l₀ = AC = HN .
Za Ajnštajnove dužine vrijedi sljedeća geometrijska i algebarska relacija
Za Lorencove dužine vrijedi sljedeća geometrijska i algebarska relacija

ELIPSA i relativistička algebra
ELIPSA (kao i pravougli trougao) određena je sa dvije dužine:
Velika osa elipse - 2a = 2ct i mala osa elipse - 2b = 2vt, žižno rastojanje elipse 2e.
Definišući tako elipsu (brzine c i v su bilo kojih skalarnih vrijednosti: 0 < v < c < ∞, imamo parametre elipse:
- Velika poluosa elipse: PC = ct = x = a
- Mala poluosa elipse: b = vt = PB = x / n = b
- Polužižno rastojanje: e = 2ct '= BN, Ajnštajnovo t' (a ne Lorencovo t ').
- Koeficijent spljoštenosti elipse: k = b/a = cos α = vt / ct
- Ekscentričnost elipse: ε = e / a = sin α = NB / PN
- Spljoštenost elipse: ά = 1-k = 1-cos α.
-žižni poluparametar elipse: p = b²/a = b/n = a/n².
Primjena "relativističke algebre", olakšat će nam (i pojednostaviti) izračunavanja veličina i u ovoj oblasti. Žižni poluparametar elipse (p) po veličini jednak je dužini PA (na slici):, to je dužina polutetive elipse koja prolazi kroz žižu elipse (paralelno) osi b elipse, dužina BN jednaka je polovini žižne razdaljine, TJ. BN = F₁F₂ /2 = 2ct' (jednako Ajnštajnovoj dužini 2ct'), te jednako zbiru Lorencovih dužina (x' + vt').
Linearni ekscentricitet elipse:

Žižni poluparametar elipse:
Ova veličina PA = p značajna je i u kružnim kretanjima i u Lorentzovim formulama za transformaciju koordinata.