Zlatni presjek - određivanje brojne vrijednosti omjera

„Zlatni presjek“


Ako datu duž (a) podijelimo na dva nejednaka dijela: x > (a - x) tako da se manji dio duži (a-x = AC) odnosi prema većem dijelu (x = BC) isto kao veći dio (x = BC) prema cijeloj duži (a = AB) onda imamo duž (a) podijeljenu po „Zlatnom presjeku“. Dva omjera jednakih vrijednosti povezani znakom jednakosti kraće se nazivaju proporcija. Za zlatni presjek duži (a) imamo sljedeću proporciju:
(1) a : x = x : (a - x).
Veći dio duži (x) je geometrijska sredina cijele duži (a) i njenog manjeg dijela (a-x).
Za radoznale i promućurne postavljam zadatak:
Dokazati da proporcija (1) a : x = x : (a - x) ima stalnu brojnu (numeričku) vrijednost. Izvedimo to:

U udžbeniku „Geometrija za II razred gimnazije prirodno-matematičkog smera“ (Vojislav Mihajlović, drugo izdanje, 1964.g.) na strani 61 , slika 86, imamo sljedeći crtež:
, BC = r₁ = 1 , AB = r₂ = 2 , izveden je dokaz da tačka M ( AM = AD) dijeli duž AB na dva nejednaka dijela AM > BM po „zlatnom presjeku“ AB : AM = AM : MB .
AB = a , AM = x i BM = (a-x) , tako da je udovoljeno definiciji „zlatnog presjeka“: Ako je neka duž podijeljena na dva ne jednaka dijela tako da je veći dio geometrijska sredina cijele duži i manjeg dijela, onda je ta duž podijeljena po zlatnom presjeku,
a : x = x : (a – x).
O zlatnom presjeku dužine AE , kao i o stalnoj brojnoj (numeričkoj) vrijednosti omjera dužina „zlatnog presjeka“ nema ni riječi. Dato je samo objašnjenje kako se izračuna odsječak x , ako je poznata brojna vrijednost dužine duži a.
Zbog tako „šturog“ teksta o zlatnom presjeku, vjerujem da većina „nadarenih matematičara“ ne bi se dosjetili kako riješiti sljedeći konstruktivni zadatak:
Konstruisati duž (a) koja je podijeljena po zlatnom presjeku na dva ne jednaka dijela x > (a-x), ako je poznat samo jedan od dijelova duži, x ili (a-x).

Kako sam u „relativističkoj algebri“ ukazao da za Ajnštajnovo (i Lorentzovo) ct i vt postoji odgovarajući ugao kojem je vt/ct = 1/n = cosα , tako isto ukazujem da postoji odgovarajući ugao i za omjer dužina „zlatnog presjeka“:
Nacrtamo li taj ugao APN (pomoću proizvoljne jedinice mjere BC = r₁ = 1), PB = 2r₁ = PT = 2 i PN = PE = PA. . Za ugao APN je:
te ga možemo ga koristiti za rješavanje konstruktivnih zadataka :
1. Konstruisati duž (a) podijeljenu po zlatnom rezu na x > (a-x), ako nam je zadano: a) x , ili b) (a-x);
2. Konstruisati pravilan desetougao: a) zadane stranice desetougla, ili b) zadanog poluprečnika desetouglu opisane kružnice.
Korištenjem nacrtanog ugla APN navedene konstrukcije su olakšane i pojednostavljene

Zlatni presjek iskoristimo i za konstrukciju pravilnog desetougla (petougla, dvadesetougla,...), petokrake,..
U te svrhe korisno je koristiti sljedeću konstrukciju:.
O₁O₂ = r₁ = 1 , O₂A = 2r₁ = 2 = BC , AB = a , BC = x , AC = (a - x),



Duž AC = (a - x) je stranica pravilnog desetougla, kojem je opisana kružnica poluprečnika O₂A.
Također, tačka D dijeli duž O₂A po zlatnom presjeku: O₂A : AD = AD : O₂D. Nadam se da u pravilnom petouglu umijete ugledati "zvijezdu petokraku":

Jednakokraki trougao sa uglom 36° naspram osnovice najlakše ćete konstruisati pomoću dužina "zlatnog presjeka":.
AS = SB = BC = CD = CE = r₁ = 1
AB = DE = AM = MA' = 2r₁ = 2
AE = AA' = BA' = (√5 + 1) , BM = (√5 - 1)
A'A : AB = AB : BM = (√5 + 1) : 2 = 2 : (√5 – 1).
Iz navedenog je vidljivo da je dužina AB stranica pravilnog desetougla (poluprečnik opisane kružnice pravilnom desetouglu je duž A'A = (√5 + 1) .

Geometrijski niz dužina, koje odgovaraju omjeru zlatnog reza, i Keplerov pravougli trougao imamo na sljedećoj slici: . Niz možemo produžiti na jednu ili drugu stranu konstruktivnim i/ili računskim putem. Kako to radimo pogledajmo na sljedećoj slici: . U zavisnosti od izabrane jedinice mjere zavisi kako ćemo iskazati (kojim brojnim vrijednostima ćemo iskazati) pojedine dužine iz geometrijskog omjera:
......., = PA : PB = PB : PC = PC : PD = PD : PE = .....
Mjerni broj duži svake dužine možemo iskazati pomoću bilo koje druge dužine (bilo koje veličine vlastitog mjernog broja duži uzete za jedinicu).

Odabrao sam sliku koja odgovara "zlatnom presjeku" dužina PC = ct i PB = vt . . Niz: možemo produžiti na obje strane … = PD : PC = PC : PB = PB : PA =…. Svaku (bilo koju) dužinu niza možemo iskazati pomoću bilo koje druge dužine datog niza i faktora n …. Svaku dužinu možemo uzeti za početnu (izmjerenu, poredbenu, za jedinicu,…). Uglove i tangente možemo iscrtati i sa x – pravca (iz tačaka ….. A, B, C, D, E, ….. Nabacio sam ovu sliku i ovaj omjer zbog tog što sam uočio da se mnogi "zabavljaju" dužinama i uglovima "zlatnog presjeka" ("zlatni rez"): . Formule "Relativističke algebre" pomoći će vam da brže i jednostavnije izračunavate željene veličine na ovoj slici.