Zlatni presjek - određivanje brojne vrijednosti omjera

Vidi prethodnu temu Vidi sljedeću temu Go down

Zlatni presjek - brojna vrijednost omjera

Komentar  Admin on Tue 15 Sep 2009 - 8:06

„Zlatni presjek“


Ako datu duž (a) podijelimo na dva nejednaka dijela: x > (a - x) tako da se manji dio duži (a-x = AC) odnosi prema većem dijelu (x = BC) isto kao veći dio (x = BC) prema cijeloj duži (a = AB) onda imamo duž (a) podijeljenu po „Zlatnom presjeku“. Dva omjera jednakih vrijednosti povezani znakom jednakosti kraće se nazivaju proporcija. Za zlatni presjek duži (a) imamo sljedeću proporciju:
(1) a : x = x : (a - x).
Veći dio duži (x) je geometrijska sredina cijele duži (a) i njenog manjeg dijela (a-x).
Za radoznale i promućurne postavljam zadatak:
Dokazati da proporcija (1) a : x = x : (a - x) ima stalnu brojnu (numeričku) vrijednost. Izvedimo to:


Admin: komentar modifikovan dana: Fri 9 Apr 2010 - 22:08; prepravljeno ukupno 4 puta

Admin
Admin

Broj komentara : 79
Join date : 2009-08-21

Vidi profil korisnika http://einstein-ba.bosnianforum.com

Na vrh Go down

Zlatni presjek-na lakši način

Komentar  Admin on Tue 15 Sep 2009 - 8:34

U udžbeniku „Geometrija za II razred gimnazije prirodno-matematičkog smera“ (Vojislav Mihajlović, drugo izdanje, 1964.g.) na strani 61 , slika 86, imamo sljedeći crtež:
, BC = r1 = 1 , AB = r2 = 2 , izveden je dokaz da tačka M ( AM = AD) dijeli duž AB na dva nejednaka dijela AM > BM po „zlatnom presjeku“ AB : AM = AM : MB .
AB = a , AM = x i BM = (a-x) , tako da je udovoljeno definiciji „zlatnog presjeka“: Ako je neka duž podijeljena na dva ne jednaka dijela tako da je veći dio geometrijska sredina cijele duži i manjeg dijela, onda je ta duž podijeljena po zlatnom presjeku,
a : x = x : (a – x).
O zlatnom presjeku dužine AE , kao i o stalnoj brojnoj (numeričkoj) vrijednosti omjera dužina „zlatnog presjeka“ nema ni riječi. Dato je samo objašnjenje kako se izračuna odsječak x , ako je poznata brojna vrijednost dužine duži a.
Zbog tako „šturog“ teksta o zlatnom presjeku, vjerujem da većina „nadarenih matematičara“ ne bi se dosjetili kako riješiti sljedeći konstruktivni zadatak:
Konstruisati duž (a) koja je podijeljena po zlatnom presjeku na dva ne jednaka dijela x > (a-x), ako je poznat samo jedan od dijelova duži, x ili (a-x).


Admin: komentar modifikovan dana: Thu 5 Jan 2012 - 3:47; prepravljeno ukupno 3 puta

Admin
Admin

Broj komentara : 79
Join date : 2009-08-21

Vidi profil korisnika http://einstein-ba.bosnianforum.com

Na vrh Go down

Zlatni presjek - primjena omjera

Komentar  Admin on Tue 15 Sep 2009 - 8:47

Kako sam u „relativističkoj algebri“ ukazao da za Ajnštajnovo (i Lorentzovo) ct i vt postoji odgovarajući ugao kojem je vt/ct = 1/n = cosα , tako isto ukazujem da postoji odgovarajući ugao i za omjer dužina „zlatnog presjeka“:
Nacrtamo li taj ugao APN (pomoću proizvoljne jedinice mjere BC = r1 = 1), PB = 2r1 = PT = 2 i PN = PE = PA. . Za ugao APN je:
te ga možemo ga koristiti za rješavanje konstruktivnih zadataka :
1. Konstruisati duž (a) podijeljenu po zlatnom rezu na x > (a-x), ako nam je zadano: a) x , ili b) (a-x);
2. Konstruisati pravilan desetougao: a) zadane stranice desetougla, ili b) zadanog poluprečnika desetouglu opisane kružnice.
Korištenjem nacrtanog ugla APN navedene konstrukcije su olakšane i pojednostavljene


Admin: komentar modifikovan dana: Thu 5 Jan 2012 - 3:50; prepravljeno ukupno 12 puta

Admin
Admin

Broj komentara : 79
Join date : 2009-08-21

Vidi profil korisnika http://einstein-ba.bosnianforum.com

Na vrh Go down

Konstrukcija pravilnog desetougla, petougla, petokrake,..

Komentar  Admin on Tue 15 Sep 2009 - 9:07

Zlatni presjek iskoristimo i za konstrukciju pravilnog desetougla (petougla, dvadesetougla,...), petokrake,..
U te svrhe korisno je koristiti sljedeću konstrukciju:.
O1O2 = r1 = 1 , O2A = 2r1 = 2 = BC , AB = a , BC = x , AC = (a - x),
AB : BC = BC : AC , ili a : x = x : (a - x) .



Duž AC = (a - x) je stranica pravilnog desetougla, kojem je opisana kružnica poluprečnika O2A.
Također, tačka D dijeli duž O2A po zlatnom presjeku: O2A : AD = AD : O2D. Nadam se da u pravilnom petouglu umijete ugledati "zvijezdu petokraku":


Admin: komentar modifikovan dana: Sun 4 Apr 2010 - 22:51; prepravljeno ukupno 1 puta

Admin
Admin

Broj komentara : 79
Join date : 2009-08-21

Vidi profil korisnika http://einstein-ba.bosnianforum.com

Na vrh Go down

Centralni ugao pravilnog desetougla

Komentar  Admin on Sun 4 Apr 2010 - 5:52

Jednakokraki trougao sa uglom 36° naspram osnovice najlakše ćete konstruisati pomoću dužina "zlatnog presjeka":.
AS = SB = BC = CD = CE = r1 = 1
AB = DE = AM = MA' = 2r1 = 2
AE = AA' = BA' = (√5 + 1) , BM = (√5 - 1)
A'A : AB = AB : BM = (√5 + 1) : 2 = 2 : (√5 – 1).
Iz navedenog je vidljivo da je dužina AB stranica pravilnog desetougla (poluprečnik opisane kružnice pravilnom desetouglu je duž A'A = (√5 + 1) .

Admin
Admin

Broj komentara : 79
Join date : 2009-08-21

Vidi profil korisnika http://einstein-ba.bosnianforum.com

Na vrh Go down

Zlatni rez i Relativistička algebra

Komentar  Admin on Sun 18 Apr 2010 - 20:11

Geometrijski niz dužina, koje odgovaraju omjeru zlatnog reza, i Keplerov pravougli trougao imamo na sljedećoj slici: . Niz možemo produžiti na jednu ili drugu stranu konstruktivnim i/ili računskim putem. Kako to radimo pogledajmo na sljedećoj slici: . U zavisnosti od izabrane jedinice mjere zavisi kako ćemo iskazati (kojim brojnim vrijednostima ćemo iskazati) pojedine dužine iz geometrijskog omjera:
......., = PA : PB = PB : PC = PC : PD = PD : PE = .....
Mjerni broj duži svake dužine možemo iskazati pomoću bilo koje druge dužine (bilo koje veličine vlastitog mjernog broja duži uzete za jedinicu).

Admin
Admin

Broj komentara : 79
Join date : 2009-08-21

Vidi profil korisnika http://einstein-ba.bosnianforum.com

Na vrh Go down

Re: Zlatni presjek - određivanje brojne vrijednosti omjera

Komentar  Admin on Thu 5 Jan 2012 - 4:18

Odabrao sam sliku koja odgovara "zlatnom presjeku" dužina PC = ct i PB = vt . . Niz: možemo produžiti na obje strane … = PD : PC = PC : PB = PB : PA =…. Svaku (bilo koju) dužinu niza možemo iskazati pomoću bilo koje druge dužine datog niza i faktora n …. Svaku dužinu možemo uzeti za početnu (izmjerenu, poredbenu, za jedinicu,…). Uglove i tangente možemo iscrtati i sa x – pravca (iz tačaka ….. A, B, C, D, E, ….. Nabacio sam ovu sliku i ovaj omjer zbog tog što sam uočio da se mnogi "zabavljaju" dužinama i uglovima "zlatnog presjeka" ("zlatni rez"): . Formule "Relativističke algebre" pomoći će vam da brže i jednostavnije izračunavate željene veličine na ovoj slici.

Admin
Admin

Broj komentara : 79
Join date : 2009-08-21

Vidi profil korisnika http://einstein-ba.bosnianforum.com

Na vrh Go down

Re: Zlatni presjek - određivanje brojne vrijednosti omjera

Komentar  Sponsored content Today at 2:23


Sponsored content


Na vrh Go down

Vidi prethodnu temu Vidi sljedeću temu Na vrh


 
Permissions in this forum:
Ne možete odgovoriti na teme ili komentare u ovom forumu